Es gibt in einigen Städten auch ein Tier-Taxi.
Da in Reinbek keines angeboten wird, wäre für dich
wohl das nächste Tier-Taxi in Hamburg (ca. 20-25 km?):
http://www.hamburg-web.de/guide/detail/Tier-Taxi-Hamburg
Das, was die schreiben, hört sich nett an, sie transportieren
alle Tiere, die haben für den Notfall eine Transportliege und
(Zitat

"Wir nehmen alle Tiere mit, eben auch solche,
die unter Erbrechen, Durchfall u.s.w. leiden.
Wir übernehmen auch Transporte von einem Unfallort."
Ich denke, wenn man z.B. ein Tier nach einer Operation abholen will,
würde ich vorher bei diesem Tiertaxi nachfragen, ob das geht,
und wie teuer das wird. Wäre in so einem Fall besser als Bus und Bahn.
P.S. In Berlin (und vielen anderen Städten) gibt es so etwas auch.
Hier die Adresse in Berlin:
http://www.tiertaxi-berlin.de/index.html
Ich habe einmal einen Bericht über eine Frau im Fernsehen gesehen,
die ein eigenes Tiertaxi fuhr, die sich auch um Tiere kümmerte,
einen Hund jeden Mittag ausführte, Tiere im Urlaub der Besitzer
versorgte, einer blinden, alten Dame half, den Papagei einzufangen
und zum Tierarzt zu bringen, ein Lama in ihrem Tiertaxi transportierte,
das so weit ich mich erinnere zu einer Jugendfarm gehörte, die
zu einem Kinderfest fuhren, da war Tiertransport, Warterei, Reinigung
ihres Fahrzeuges mit insgesamt 25 Euro abgedeckt.
Sich nach so einem Tiertaxi zu erkundigen, lohnt sich also,
viele Leute, die so etwas machen, sind sehr engagiert und tierlieb!