Ich würde einen freundlichen Brief formulieren und den Nachbarn in Briefkasten werfen.
Also irgendwie sowas:
"Hallo liebe Katzenfreunde in der Nachbarschaft!
Sicherlich kennt ihr schon unseren Katzer - Name und Bild -.
Leider ist der kleine Tiger ein Vielfraß und futtert sich auch gerne an fremden Näpfen durch (
So verhinderst Du Anschuldigungen!!!).
Da ich jedoch aus gesundheitlichen Gründen bei ihm darauf achten muss, möchte ich sie bitten den großen Kulleraugen zu widerstehen und ihn zum Futtern nach Hause zu schicken.
Vielen Dank auch im Namen von - Name und Pfotenabdruck -
Eure neue Nachbarin - Name und Adresse - "
So verhinderst Du Streit, es klingt nett und sicher haben die Leute dann Verständnis.