Das hört sich sehr nach einer Bindehautentzündung an.
Solltest du versuchen, es selbst zu reinigen nimm auf jeden Fall nur warms Wasser dazu, auf keinen fall irgendwelche Tees! Dort sind immer Teepartikel dabei, und diese gelangen beim putzen zwangsweise ins Auge, reizen zusätzlich.
Versuch dein glück mit selbst reinigen, abr wenn es orgen noch schlimmer aussieht, wirst du um den Tierarzt nicht herumkommen.
Du willst doch nicht das sie einen bleibenden Augenschaden bekommt oder schlimmstenfalls erblindet oder?
Mit Bindehautentzündungen ist leider nicht zu spassen.
Natürlich ist es schade, wenn euer gerade aufgebautes Vertrauensverhältnis dadurch einen Knacks bekommt oder kurzweilig wieder zerstört wird, aber der Gesundheit zuliebe ist das eben leider nötig.
Man kann sie sicher "bändigen", und wenn nicht, gibt es beim Tierarzt immernochdie Möglichkeit sie in einem speziellen Käfig zu fixieren, so das sie bewegungslos ist oder mit einer Spritze zu beruhigen/sedieren.
Du wirst vermutlich eine antibiotische Salbe mitbekommen, diese wirst du ihr dann regelmässig in die Augen reiben müssen.
Zu der "Dreck"- Theorie.
Wenn eine Katze Schlaf oder Fremdkörper am Auge hat und es stört sie, so wird sie ihn sich entfernen. Stört er sie nicht, lässt sie ihn vielleicht einfach da.
Aber auf keinen Fall sollte sie dauerhaft das Auge zukneifen, denn auch wenn es Schlaf oder Schmutz ist - auch der kann reizen und zur Bindehautentzüundung führen.