Das hört sich tatsächlich alles sehr unseriös an. Okay zumindest ist die Familie hoffentlich ehrlich gewesen. Inkompetent was Katzenhaltung angeht (die Kinder ziehen den Kater am Schwanz und er hatte bei ihnen kein schönes Leben? Wtf...) und medizinisch nachlässig, aber hoffentlich ehrlich. Ich bin fassungslos wie manche Leute mit ihren Tieren umgehen.
Da der Kater jetzt doch ziemlich überstürzt bei dir eingezogen ist, würde ich sagen, mach jetzt mal einen Schritt nach dem anderen. Tierärztlich versorgen lassen (viel Erfolg heute!) und dann lass ihn mal ankommen, finde heraus was er fressen mag und wenn du magst lies dich in die gesunde Katzenfütterung ein.
Die Zusammenführung hat ja geklappt wie im Bilderbuch, also kannst du ein Häkchen schon mal machen.
Meine persönliche Meinung zum Thema ob er bereits krank war und nicht behandelt wurde: Privatverkäufer können einem leider das blaue vom Himmel lügen, und meiner Ansicht nach nimmt man das in Kauf wenn man sich dazu entscheidet ein Lebewesen bei sich aufzunehmen ohne Impfpass etc (was ja schon vermuten lässt dass die Besitzer nachlässig sind).
Für mich wäre es also keine Option, den Kater zurück zu geben weil sich herausstellt dass er krank ist.
Den Tierschutz einschalten gegen die Familie kann auf jeden Fall eine Option sein, und evtl kannst du auch Hilfe bekommen was den Kater anbelangt.
Aber das ist alles noch graue Theorie, lass uns mal abwarten was der Tierarzt sagt

Auch ein Kater der nicht (gut) springen kann, kann ein langes glückliches Leben führen, wichtig wäre nur abzuklären ob er (chronische) Schmerzen hat und wie man die am besten behandelt.